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Tecnología y Ciencias del Agua
, vol. VIII, núm. 3, mayo-junio de 2017, pp. 39-53
Ramos-Arzola
et al
.,
Modelo para la optimización del costo de operación de un campo de pozos en acuíferos
ISSN 2007-2422
•
La matriz respuesta, como se verá más ade-
lante, permite transformar el problema de op-
timización en un problema donde las variables
de decisión son solamente los caudales en los
nodos a optimizar el gasto. Este aspecto es muy
conveniente cuando se administra un acuífero
en régimen no estacionario, pues se reduce de
forma considerable la dimensión del problema
de optimización, en comparación con el EE,
donde tanto las cargas como los caudales son
variables de decisión.
Formulación del modelo de administración
Función objetivo
El modelo MADA (Cabrera & Dilla, 2011) con-
sidera tres funciones objetivo lineales: (a) maxi-
mizar las cargas, (b) minimizar los abatimientos
y (c) maximizar el gasto de extracción. Además,
MADAutiliza el EE y considera como variables
de decisión los caudales de explotación en los
nodos que se quieran optimizar en cada interva-
lo de tiempo,
Q
j
,
k
, y también las cargas hidráu-
licas en todos los nodos de la discretización del
acuífero en cada intervalo de tiempo. En este
trabajo se incorpora una cuarta función objetivo
(9): minimizar el costo de bombeo que, como se
dijo anteriormente, es una función cuadrática
para el caso de sistemas lineales, y además se
emplea el EMR para vincular AQÜIMPE con
un problema de programación cuadrática. El
empleo del EMR permite considerar solamente
como variables de decisión los caudales de
explotación en los nodos a optimizar.
minimizar
F Q
,
h
(
)
=
cQ
j
,
k
H
j
h
j
,
k
(
)
j
=
1
n
k
=
1
T
(9)
donde
H
es la distancia entre la superficie del
terreno y el plano de referencia en cada pozo
(cota de la superficie del terreno), y
c
es un
coeficiente que incluye términos para convertir
de potencia a costo y toma la forma:
c
=
c
0
t
(10)
donde
c
0
es el costo unitario de la potencia eléc-
trica;
Δ
t
, la duración del bombeo, y
γ
es el peso
específico del agua. Según Ahlfeld y Laverty
(2015), el coeficiente
c
también puede considerar
la eficiencia de la bomba, factores de pérdidas
por fricción y factores de conversión de unida-
des. En la figura 1 se describen los términos de
la ecuación (9).
Mediante el EMR, la ecuación (9) puede
ser escrita en términos de
Q
solamente como
variables de decisión. Para ello se sustituye (7)
en (9), realizando un cambio en los contadores
de (7), y luego de sencillas manipulaciones se
obtiene la siguiente expresión:
minimizar
F Q
( )
=
c H
j
h
j
,
k
0
(
)
Q
j
,
k
h
i
,
k
Q
m
,
t
Q
m
,
t
m
=
1
n
t
=
1
T
Q
j
,
k
j
=
1
n
k
=
1
T
(11)
La función (11) debe ser derivada dos veces
respecto a las variables de decisión
Q
para obte-
ner la matriz hessiana necesaria para el modelo
de programación cuadrática anteriormente pre-
sentado. Luego de la derivación, los elementos
de la matriz hessiana de
F
toman la forma:
Q
m
,
t
F
Q
j
,
k
=
c h
m
,
t
Q
j
,
k
+
h
j
,
k
Q
m
,
t
(12)
Ahlfeld y Mulligan (2000) plantean que
en la práctica los mayores valores de los ele-
mentos de la matriz hessiana ocurren en la
diagonal principal. Esto se debe a que el mayor
abatimiento ocurre en el propio punto donde
se bombea y, por tanto, la derivada respecto al
gasto en esos puntos es grande (en términos
absolutos, ya que
∂
h
/
∂
Q
< 0). Entonces es bas-
tante probable que la matriz hessiana tenga la
diagonal predominante (y positiva) y
F
sea una
función convexa, garantizando que el óptimo
sea global.
Restricciones
Las restricciones de MADA pueden ser de tres
tipos: (a) restricción de demanda, (b) restricción
