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Tecnología y Ciencias del Agua
, vol. VIII, núm. 3, mayo-junio de 2017, pp. 39-53
Ramos-Arzola
et al
.,
Modelo para la optimización del costo de operación de un campo de pozos en acuíferos
•
ISSN 2007-2422
xopt, fval
=
quadprog H
,
f
,
A
ineq
,
b
ineq
,
A
eq
,
b
eq
,
lb
,
ub
(
)
(6)
donde
xopt
puede ser un punto de mínimo local
para problemas no convexos y para problemas
convexos ser un punto de mínimo global. El
argumento de salida
fval
es el valor mínimo
local o global de la función objetivo.
La matriz hessiana
H
(matriz de las segundas
derivadas de la función objetivo) también puede
ser utilizada como un medio para conocer si la
solución encontrada es un óptimo global. Si
H
tiene la diagonal predominante y todos los ele-
mentos de la diagonal principal son positivos, se
puede decir que la función objetivo es convexa.
Entonces, si las restricciones del problema de
optimización son funciones lineales y existe la
región factible de soluciones, todo el problema
de programación cuadrática es convexo y el
mínimo es global (Ahlfeld & Mulligan, 2000;
Ramos, Cabrera, Marón, & Hernández, 2016).
Enfoque matriz respuesta
En este enfoque, la ecuación (1), junto con las
condiciones inicial y de borde, ecuaciones (2)
y (3), son usadas para determinar la respuesta
unitaria de la carga hidráulica, producto de
un bombeo unitario en ubicaciones específicas
dentro de la región de flujo (Yeh, 2015). En pro-
blemas estacionarios, el EMR utiliza el principio
de superposición en el espacio (Ramos
et al
.,
2016), y para problemas no estacionarios em-
plea superposición en el tiempo y en el espacio
(Psilovikos & Tzimopoulos, 2004). El arreglo
de todas las respuestas unitarias o coeficientes
respuesta permite obtener la matriz respuesta
del acuífero, la cual es introducida en el modelo
de programación como un sustituto del modelo
de simulación.
Ahlfeld y Laverty (2011) señalan que cuando
la ecuación de flujo del agua subterránea es
lineal y las condiciones de borde no dependen
de la carga hidráulica, la carga hidráulica es
una función lineal del caudal y esta función se
formula según la ecuación (7):
h
i
,
t
Q
( )
=
h
i
,
t
0
+
h
i
,
t
Q
j
,
k
Q
j
,
k
j
=
1
n
k
=
1
T
(7)
donde
Q
es el caudal;
h
0
, la carga hidráulica
cuando no se bombea en los puntos a optimizar
el gasto;
∂
h
/
∂
Q
, los coeficientes respuesta del
acuífero;
T
, el número de periodos de admi-
nistración;
n
, el número de puntos a optimizar
el gasto;
i
, un punto donde se desea controlar
la carga hidráulica, y
j
es un punto donde se
optimiza el gasto.
El cálculo de los coeficientes respuesta se
realiza mediante la ecuación (8), consistiendo
en aproximar las derivadas parciales ∂
h
/∂
Q
por
una fórmula en diferencia finita adelantada; este
procedimiento también se denomina método de
la perturbación (Ahlfeld, Barlow, & Mulligan,
2005):
h
i
,
t
Q
j
,
k
=
h
i
,
t
Q
Q
(
)
h
i
,
t
0
Q
j
,
k
(8)
donde
Δ
Q
es una perturbación que se coloca
en el punto
j
a optimizar;
Q
Δ
Q
es un vector de
gastos donde todas sus componentes son nulas,
excepto en la componente
j
, donde es igual a
Δ
Q
, y
h
(
Q
Δ
Q
) es la carga en el punto donde se
controla la carga luego de aplicada la perturba-
ción. Es bueno señalar que como la respuesta de
la carga al caudal es lineal, la derivada parcial
∂
h
/
∂
Q
es constante y la expresión (8) sólo está
sujeta a errores de redondeo. Grava
et al.
(2015)
subrayan el hecho de que para sistemas lineales,
los coeficientes respuesta son independientes
del valor de la perturbación.
Para la obtención de todos los coeficientes
respuesta y, por tanto, la obtención de la matriz
respuesta, son necesarias
n
+ 1 corridas del mo-
delo de simulación (en este caso, AQÜIMPE). En
la primera corrida se considera que no existen
extracciones en los puntos a optimizar, y se
obtienen las cargas
h
0
en todos los nodos y en
todos los tiempos donde se controlará la carga.
Luego, en las restantes
n
corridas se determinan
las cargas
h
(
Q
Δ
Q
), colocando la perturbación
Δ
Q
en cada punto a optimizar.
