CAPÍTULO 5. ESCRITURA DE FUNCIONES
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normal, depende de dos parámetros, pero, en este caso los parámetros son
k
y
θ
, denominados parámetros de forma (
shape
) y de escala (
scale
), respectiva-
mente, y no la media y la desviación estándar. Sin embargo, los datos se han
caracterizado en términos de su media y su desviación estándar.
Para resolver este asunto, se debe notar que toda función de densidad de
probabilidades tiene a su vez una media y una desviación estándar, o una va-
rianza, que para el caso de la función de densidad Gamma son, respectivamen-
te, como sigue:
µ
=
k
θ
(5.3)
v
=
σ
2
=
k
θ
2
(5.4)
De esta manera, se tienen dos ecuaciones, no lineales, que describen
µ
y
v
en términos de los parámetros
k
y
θ
. Ahora, el tema interesante sería poder
expresar los parámetros
k
y
θ
, en términos de
µ
y
v
, que son los valores que se
pueden calcular a partir de nuestros datos. Como, en este caso, las ecuaciones
son bastante simples, por pura manipulación algebraica, se puede llegar a las
siguientes expresiones para
k
y
θ
:
θ
=
v
µ
(5.5)
k
=
µ
2
v
(5.6)
Esto resolvería nuestro problema, si quisiéramos hacerlo exclusivamente
para la función de densidad de probabilidades Gamma. Sin embargo, si lo
queremos desarrollar aquí es un procedimiento más general, tal que dados los
valores de
µ
y
v
, pudiésemos encontrar los valores de los parámetros de la
función de densidad, tendríamos que resolver cualquier el sistema de ecuacio-
nes no lineales, como el de la ecuaciones 5.3 y5.4, por medio de algún método
numérico. Esto es lo que se desarrollará en las siguientes secciones.
5.5.4. El método de Newton-Raphson para la solución de sis-
temas de ecuaciones no lineales
El método numérico de Newton-Raphson, se usa para encontrar las raíces
de alguna función arbitraria,
f
(
x
)
; esto es, encontrar el valor o valores de
x
cuando
f
(
x
) =
0. Su formulación en ese caso es como sigue
9
:
x
n
+
1
=
x
n
−
f
(
x
n
)
f
0
(
x
n
)
(5.7)
o bien:
9
Los fundamentos del método de Newton-Raphson y su aplicación al caso de los sistemas de
ecuaciones no lineales se pueden consultar en Chapra and Canale [2010] pp. 169-171, y una buena
explicación de este método también se puede encontrar en Broyden [1965].
